Математическая экономика
( специальный курс)
«Изучение экономики средствами математики является основой, главным стержнем в процессе экономического образования и воспитания учащихся»
«Экономика, поверенная алгеброй –
бинарный эффект учебника»
Какая математика нужна школьникам
Проведенный автором анализ стандартов по математике общеобразовательной и высшей школы, учебников «Алгебра» (7–9 кл.), «Алгебра и начала анализа» (10–11 кл.), «Высшая математика», действующих в настоящее время, показывает, что слабым звеном в преподавании является отсутствие приложения изученного математического аппарата к задачам, отражающим производственную деятельность людей.
Школьная и вузовская программы по математике вот уже на протяжении многих десятилетий существенно не изменились в аспекте ее приложения к задачам в экономической сфере. Основной причиной этого, на мой взгляд, является слабое представление работников образования всех уровней, включая и составителей учебников, о структуре экономики, ее проблемах и взаимосвязях. В результате интерес учащихся к изучению математики сегодня падает. А современные школьники и студенты по своему умственному развитию и мировоззрению в корне отличаются от своих сверстников 50–80 годов прошлого века.
Определенный период моей педагогической работы был связан с преподаванием математики в профессионально-техническом училище и вечерней школе. Особенно запомнилась группа, которая упорно игнорировала уроки математики. «Упрямцы» ставили вопросы ребром: что нам дает этот учебник по алгебре? Хоть одна задача для нас составлена? Зачем нас вынуждают изучать то, что адресовано не нам?
Сегодня аналогичные вопросы задают многие школьники и студенты. Действительно, кому и для чего предназначен учебник, по которому мы преподаем основы математики учащимся общеобразовательных школ, студентам вузов, колледжей, и «вечерников»? Не один день просидел я, разбирая методическую структуру, направленность учебников «Алгебра и начала анализа», «Высшая математика» всех авторских коллективов.
Вывод: неоправданно слабое звено школьной и высшей математики − содержание предлагаемых для решения задач, оторванность теоретической части учебников от трудовой деятельности учащихся. Математика не рассматривается как средство познания реальных экономико-практических ситуаций, не развивает экономическое мышление, организаторские способности и деловые качества школьников, столь нужных в современных условиях рыночных отношений.
Падение интереса школьников к изучению математики, на наш взгляд, связано с тем, что ее содержание ни в какой форме не отражает переход страны к рыночным отношениям в экономической сфере, хотя она имеет огромные потенциальные возможности для изучения и исследования экономических явлений и их взаимосвязей.
Вызывает озабоченность методика изучения и самой математики. К, примеру, при изучении темы «Производная сложной функции» вряд ли в России найдется хоть один школьник, который осознанно и осмысленно воспримет связь между тремя переменными (Х,У,Z) в абстрактной форме. Но, если изучать эту тему на примере зависимости себестоимости (У), урожая (Z) от количества внесенного в почву удобрения (Х) и произвести при этом необходимый математический расчет, все встанет на свои места.
А вот другой пример. Веду урок по математике на автотранспортном предприятии, где администрация любезно предоставила помещения для обучения водителей непосредственно на месте. Тема: «Производная функции». Рассказав предварительно о применении производной в различных областях науки и техники, продолжаю: «Пусть независимая переменная «х» принимает приращение « у» - и все это демонстрирую на графике. Увлекшись выводом формулы, поворачиваюсь, чтобы убедиться в том, что мои ученики успевают записывать. И вижу картину: один водитель положил голову на парту, второй, третий. Сделав замечание, начинаю все сначала, но тщетно: реакции никакой. И вдруг, один из них в полусонном состоянии, произносит: «А зачем эта производная в нашем шоферском деле?» И тогда, несколько повысив голос, начинаю: «Пусть расход горючего на 100 км пути зависит от скорости движения автомобиля». Далее акцентирую их внимание на том, что при очень малых и очень высоких скоростях расход горючего наибольший. Что для каждой марки автомобиля существует своя наиболее экономичная скорость, при которой расход горючего минимальный. Привожу для наглядности математическую модель, вычерчиваю довольно точно отражающую ее параболу. Указываю, что для каждого автомобиля − своя модель, своя парабола. И если каждый водитель знал бы наиболее экономичную скорость своего автомобиля, то горючее расходовалось бы экономнее, детали машин реже выходили из строя, да и аварий было бы гораздо меньше. После всех объяснений наблюдаю совсем другую картину: полусонные водители поочередно поднимают головы, просыпаются.
Если изучать школьную математику на примерах экономической деятельности, у школьников значительно повысится интерес, и будет развиваться экономическое мышление, что очень важно в поступательном развитии страны в сфере экономики и безопасности страны в условиях перехода к рыночным отношениям.
На мой взгляд, определенное число часов, которое сейчас отводится на решение отдельных типов уравнений (например, показательных, логарифмических, тригонометрических), встречающихся разве только в специальных задачниках и решаемых частными и искусственными способами, можно было бы с большей пользой посвятить изучению важнейших математических приложений, решению задач из сферы экономики средствами математики. Целый ряд тем без заметного ущерба можно сократить из программы, включив взамен другие, принципиально важные разделы математики, например, теорию матриц. Надеюсь, в обозримом будущем она займет достойное место в содержании среднего и высшего математического образования, связав практическую реализацию методов обучения с использованием современных компьютерных технологий.
Всё это в совокупности позволит представить процесс изучения математики в виде блока, состоящего из трех взаимосвязанных и взаимопроникающих частей:
1. Математические структуры (алгебра, геометрия, функции и графики).
2. Математические модели естествознания и экономики.
3. Вычислительная математика (компьютерная технология).
Сейчас в курсе математики представлена в основном первая часть (она даже выглядит гипертрофированной и является, чуть ли не самоцелью). В результате учащиеся не проявляют должного интереса к изучению математики, такая способность присуща людям с чисто математическим складом ума, а они составляют весьма незначительную часть. Математика же должна стать средством изучения математических моделей (часть вторая) и давать возможность их рассчитывать (часть третья).
Поэтому математические модели следует рассматривать как средство познания окружающей действительности, математические структуры – как средство изучения математических моделей, а вычислительные машины (компьютерные технологии) – как средство их расчета.
На основе опыта работы в должности инженера-экономиста скажу, что наша экономика содержит в себе богатейший материал для любого профильного класса, который может быть описан, проанализирован всеми известными математическими функциями и понятиями. Да и сама математика легче и прочнее усваивается, если она основывается на экономико-производственном материале. Между математикой и основами экономики должна быть тесная межпредметная связь, а между составителями учебников и преподавателями по этим учебникам − тесные и всесторонние контакты.
Не секрет, что экономические знания сегодня необходимы каждому человеку − в условиях возрастающих темпов научно-технического прогресса, повышается роль и ответственность каждого работника на производстве. Практическое применение экономических знаний повышает эффективность труда, позволяет успешно выполнять плановые задания, умело и рационально использовать имеющиеся природные ресурсы. Экономическое образование расширяет кругозор, вырабатывает государственный подход к своей трудовой деятельности.
Значительную часть работающих в народном хозяйстве составляют выпускники средних школ и колледжей. Приходя на производство, новоиспеченные специалисты должны отчетливо представлять экономические интересы своего предприятия, принимать участие в грамотном обсуждении вопросов экономики. Основная роль при этом, естественно, отводится обществознанию, экономической географии, истории, но значительную роль здесь должна сыграть и математика. Именно с помощью математики можно научить расчету простейших, но вместе с тем важных экономических величин. И в процессе обучения в вузе, и в школе, и в самостоятельной трудовой деятельности учащихся курс учебника математики и весь процесс ее преподавания должен стать тем стержнем, на котором основывается сознательное стремление и умение бороться за повышение производительности труда, экономию сырьевых ресурсов, профессиональную культуру.
Сегодня можно с уверенностью сказать, что в условиях высшей и средней школы роль математики для воспитания экономической грамотности учащихся должна быть значительной. Такие элементы экономической грамотности как экономность, бережливость, расчетливость, рациональное использование природных ресурсов, умелое применение экономических знаний для достижения наибольших результатов в производственной сфере невозможно формировать без применения математических методов, без тесной связи теоретического материала по математике с задачами экономического содержания.
Давайте поставим себя на место школьника или студента. Нам, взрослым понятно и очевидно, что производительность труда − это количество продукции, выпускаемое за единицу времени, или количество времени, затраченное на выпуск единицы продукции. А учащимся нет, и следует целенаправленно просвещать их, указывая на различные факторы, способствующие повышению производительности труда. Это достижения научно-технического прогресса, внедрение передовых методов и приемов труда, постоянная механизация ручного труда, совершенствование технологических процессов, рациональное использование материалов и энергетических ресурсов, повышение квалификации и многое другое.
Все эти понятия вполне можно раскрыть через математические задачи с экономико-производственным содержанием, каждая из которых наглядно продемонстрирует учащимся, что влияет на повышение производительности труда, к каким производственным успехам это приводит и какие нежелательные последствия возникают, если принять неправильное решение. Роль цифровых сравнений и математических расчетов трудно переоценить.
Важно отметить и то, что любому человеку, даже слабо представляющему производство, знакома простая истина: по существу на производстве в каждом конкретном случае приходится выполнять простейшие математические расчеты для достижения поставленной цели в возможно короткий срок. Сама же математика, тонко проникая и пронизывая производственные дела и являясь элементом НОТ, способствует постоянному повышению производительности труда. При этом эффективность экономического образования и воспитания учащихся в целом значительно улучшится, если умело, всесторонне и полнее реализовать межпредметную связь в экономическом аспекте курса математики с другими школьными дисциплинами. Такая реализация межпредметной связи крайне необходима для вооружения будущих работников производства теми теоретическими сведениями, которые будут нужны им в дальнейшей жизни, особенно в трудовой деятельности в условиях рыночных отношений.
Учителю математики необходимо помнить и знать, что такие личностные качества как экономическая грамотность, экономическое мышление, организаторские способности, деловитость являются необходимым условием, предопределяющим фактором в вопросах успешного решения экономико-производственных задач, в которых математике отводится ведущая роль. Можно с определенной уверенностью сказать, что какую математику мы изучаем, таково социальное, экономическое состояние общества, обороноспособность страны и благополучие народа в целом.
Учителю математики необходимо разбираться в экономике собственной страны, ориентироваться в экономических понятиях, вводимых в содержание прикладных математических задач с экономическим содержанием.
В прошлом, учителя старшего поколения изучали экономику и вместе с ней и смысловое значение экономических понятий и категорий через специальный предмет, который назывался - политэкономией. Причем этот предмет включался в государственный экзамен, и многое поколение учителей успешно его осваивали. Изучение основ экономики самостоятельно или через курсы переподготовки под силу любому современному учителю математики.
В период развития предпринимательской деятельности в стране и подготовки управленческих кадров такие личностные качества, как экономическая грамотность, развитое экономическое мышление, организаторские способности, деловые качества, медицинская культура, культура межэтнических отношений и межнационального общения в совокупности являются основными в деле профилактики негативных явлений в любом обществе.
С сожалением приходится констатировать, что на эти качества ни в школе, ни вузе не обращается должного внимания.
Чтобы наполнить содержание среднего математического образования прикладными задачами из сферы экономики, отражающими рыночные отношения, изучить теоретические вопросы школьной и высшей математики на примерах экономической деятельности, автором разработана программы специальных курсов «Математическая экономика». Они представляет собой логическое продолжение основных тем обязательного курса по математике средней общеобразовательной и высшей школы, и может являться основой принципиально нового школьного и вузовского учебников по математике, отражающих рыночные отношения.
Цели:
1. Расширить представления и возможности учащихся в экономической сфере и вырабатывать у них активную жизненную позицию по отношению к происходящим в обществе экономическим процессам.
2. Формировать у учащихся понимания роли математических методов при решении экономических задач, применение их в организации и управления производством, выделяя важность построения математических моделей при проведении экономического анализа.
3. Развивать у учащихся интерес к изучению математики и ее возможных приложений в сфере практической деятельности.
Задачи:
1. Ознакомить учащихся с основами экономических знаний, дающих возможность предвидеть свою роль как на предприятии, так и во всем общественном производстве.
2. Формировать у учащихся умения и навыки по применению математических знаний для решения простейших экономических задач производства (определять цену каждого грамма сырья или топлива, рационально использовать оборудование и материал, рабочее и свободное время, оценивать величину заработной платы, составлять простейшие калькуляции, определять ориентировочно величину производительности труда и рентабельности производства и т.п.).
3. Способствовать учащимся понимание и необходимость научной организации труда и достижений научно-технического прогресса в предпринимательскую деятельность.
4. Использовать экономико-математические методы с целью оптимального решения производственных задач.
5. Давать учащимся сведения, необходимые им для последующего выбора профессии и сферы деятельности.
Ожидаемые результаты:
На основе поставленных задач предлагается достичь следующих результатов:
1. Подвести учащихся к пониманию того, что успех в трудовой деятельности во многом зависит от грамотного проведения необходимых математических расчетов непосредственно на производстве и при проведении соответствующего экономического анализа производственных задач, для чего необходимо изучать специальные математические методы.
2. Сформировать у учащихся необходимые умения и навыки для применения полученных экономических знаний при решении задач с экономико-производственным содержанием.
3. Достичь повышения уровня математического развития учащихся для решения прикладных задач с последующим проведением экономико-математического анализа экономических явлений и их взаимосвязей.
4. Ориентировать учащихся на понимание содержания экономической информации, излагаемой в экономической литературе, средствах массовой информации (радио, телевидение), грамотное использование справочной литературой, умению самостоятельно обосновывать свою точку зрения, активное участие в экономических вопросах в трудовой деятельности.
Тематическое планирование
математического содержания курса
«МатематиЧЕСкаЯ экономика»
Тема 1. Предмет и задачи курса «Математическая экономика».
Занятие 1. Занятие посвящается обсуждению общих задач, стоящих перед экономикой нашей страны в условиях рыночной экономики. Обращается внимание учащихся на производственную деятельность предприятия, фирмы, связанную с использованием в народном хозяйстве новейших достижений науки и техники.
Подчеркивается необходимость повышения экономической грамотности трудящихся, которая способствует развитию общественной инициативы, активному участию в управлении производством, использованию экономических знаний учащимися в своей будущей трудовой деятельности.
Определяются предмет и задачи курса.
Тема 2. Экскурсия на строительное или промышленное предприятие или на фирмы.
Занятия 2–3. Преподавателем первоначально составляется план проведения экскурсии, и определяются ее цели. Устанавливается связь с администрацией предприятия, согласуются сроки и основные этапы проведения.
Предварительно проводится краткое ознакомление учащихся со структурой работы следующих функциональных отделов (подразделений): планового, технического, труда и заработной платы, финансового, отдела контроля качества продукции, отделов главного механика и энергетика, снабжения и сбыта, отдела кадров и технического обучения, административно-хозяйственного и бухгалтерии.
Во время экскурсии обращается внимание учащихся на структуру аппарата управления данного предприятия. Учащиеся знакомятся с технологическим процессом изготовления продукции на данном предприятии; с требованиями, предъявляемыми к ее качеству, выясняют, как определяется себестоимость продукции, от каких параметров она зависит.
Обработанные и обобщенные материалы экскурсии преподаватель должен широко применять в дальнейшем проведении курса для сопоставления особенностей работы конкретного предприятия с общими требованиями экономики.
Тема 3. Математические расчеты в системе оплаты труда рабочих.
Занятия 4–5. Повременная, сдельная, аккордная, договорная формы оплаты труда. Премии.
В ходе занятия рассматриваются две формы оплаты труда: повременная и сдельная, как наиболее распространенные на предприятиях нашей страны. Вводятся понятия нормы времени, нормы выработки, тарифной ставки и расценки. Приводятся формулы подсчета заработной платы каждого рабочего. Рассматриваются различные премиальные системы оплаты труда: повременно-премиальная, сдельно-премиальная, аккордная и т. п., которые применяются на производстве для повышения материальной и моральной заинтересованности рабочих в повышении производительности труда. Преподаватель отмечает, что премии устанавливаются руководителями промышленных предприятий, и они выплачиваются за выполнение и перевыполнение производственного плана, за выпуск бездефектной продукции, за экономию сырья и материалов и т. п. Решается система логически взаимосвязанных задач с экономическим содержанием и проводится экономико-математический анализ их решения.
Занятие 6. Составление простейших калькуляций.
В начале занятия преподаватель дает объяснение понятия «калькуляция». Отмечается, что с помощью составления калькуляций определяют себестоимость изготовленной продукции и время, затраченное на ее изготовление. Составление калькуляции облегчает описание выполненной работы, помогает объединить результаты ряда промежуточных работ по изготовлению того или иного изделия. Учащимся указывается на возможность получения калькуляции для любого вида продукции. Отмечается широкое использование калькуляции для начисления заработной платы рабочих. Составляются калькуляции по изготовлению школьной парты, сооружению типового гаража, волейбольной площадки и т. п. Особое внимание обращается на то обстоятельство, что с помощью калькуляций легко выявить те отдельные промежуточные производственные операции, которые можно улучшить, для того, чтобы снизить себестоимость готовой продукции.
Решаются задачи типа:
Задача 1. Составить калькуляцию затрат труда и заработной платы:
а) по строительству волейбольной площадки,
б) по изготовлению мороженого.
Задача 2. Плотник в течение месяца изготовил:
а) деревянные переносные лестницы (150 м );
б) полотерки (100 шт.);
в) столы на козлах длиной 2 м на шпонках (15 шт.);
г) ящики для гашеной извести (5 шт.);
д) ящики для пожарных рукавов (10 шт.).
Определить месячный заработок рабочего.
Задача 3. Проведена сварка стыков стержней с накладной из круглой стали при д = 30 мм . Вычислить стоимость проделанной работы, если заварено 970 стыков.
Задача 4. Изготовлены бетонные блоки для стен подвала объемом до 0,5 куб.м одного блока. Вычислить стоимость изготовления 176 блоков, если премиальные составляют 20% от основной зарплаты.
Задача 5. Численность работающих в кафе – 10 человек. Себестоимость одного обеда в кафе – 20 руб. (без учета заработной платы). Ставка налога – 12% от прибыли. Величина спроса: если цена обеда 60 руб., то количество продаж обедов в месяц – 7000 шт., если цена обеда 75 руб., то количество продаж обедов в месяц – 4000 шт., если цена обеда 80 руб., то количество продаж обедов в месяц – 1800 шт.
Определить оптимальную цену обедов, установить среднемесячную зарплату работающим и определить величину прибыли, полученную владельцем кафе в месяц.
Тема 4. Понятие о научной организации труда на предприятиях.
Занятие 7. Учащиеся знакомятся с научными основами организации труда (НОТ). Отмечается, что научная организация труда основывается на достижениях науки и передового опыта. Приводятся основные направления НОТ: рациональное разделение и кооперация труда, улучшение организации и обслуживания рабочих мест, внедрение передовых приемов, методов труда, повышение квалификационного и культурно-технического уровня кадров.
Вся работа по научной организации труда подразделяется на три этапа.
На первом этапе при активном участии руководителей предприятий проводится анализ состояния организации труда. Определяются основные направления ее совершенствования.
На втором этапе проводится разработка мероприятий по повышению эффективности производства на основе данных экономического анализа.
На третьем этапе проводится реализация разработанного плана по осуществлению намеченных мероприятий, подсчитывается эффективность внедрения.
Обращается внимание учащихся на то, что большую роль в совершенствовании организации труда, в осуществлении НОТ играют передовые рабочие, новаторы и рационализаторы производства, которые способствуют повышению эффективности труда путем внедрений передовых методов и приемов обработки изделий в виде рационализаторских предложений. Подчеркивается важная роль знания математики и математических методов при решении экономических задач. Дается разбор задач типа:
Задача 1. Бригада каменщиков из 8 человек после трех дней работы применила новое приспособление, благодаря чему увеличила дневную производительность труда на 10% и всего за 24 рабочих дня выполнила 672 куб. м кирпичной кладки. Определить средний месячный заработок до и после применения приспособления, если премиальные составляют 10% от основного заработка.
Задача 2. Бригада плотников, применив НОТ, при условии экономии строительных материалов, увеличила производительность труда на 25%, в результате чего ежемесячно стала изготовлять на 270 оконных блоков больше. Привести расчет оплаты рабочим, если премиальные начисляются из расчета 15% к основной оплате.
Задача 3. На одной сельскохозяйственной ферме годовой удой молока за 2008 год составил 4500 тыс. литров, а на другой – годовой удой молока на 850 тыс. литров меньше, хотя коров на 150 голов больше, чем на первой ферме.
За счет применения научных методов содержания коров годовой удой молока от одной коровы на первой ферме на 1 тыс. литров больше, чем на второй.
Определить:
1. Поголовье коров на первой и второй фермах.
2. Вычислить средний годовой удой молока на одну корову на каждой ферме.
3. Найти себестоимость 1 литра молока на каждой ферме, если стоимость содержания одной коровы с учетом зарплаты рабочих и других расходов составляет 3000 рублей в год (расходы по реализации молока не учитывать).
Тема 5. Применение элементарных математических функций в экономических расчетах.
Занятия 8–9. Использование понятия функции в экономических расчетах.
Преподаватель вспоминает с учащимися определение функции одной переменной y=f(x), приводит различные примеры. Дает геометрическую интерпретацию уравнений
y = kx, y = kx + b,
как уравнений прямой на плоскости.
Отмечается, что линейная функция в экономике может выражать зависимость между издержками производства и выпуском продукции, между ценой товара и спросом, между нормой прибыли и прибавочной стоимостью, между производством продукции и расходом материала и т. п. Решаются различные задачи по определению себестоимости.
Учащимся даются сведения о выгодности перевозки груза определенным видом транспорта на основе графического решения системы линейных уравнений. Преподаватель показывает, как оценивать выгодность перевозки груза определенным видом транспорта, используя графические решения системы линейных уравнений относительно стоимости перевозок.
Даются примеры вычисления транспортных расходов, амортизационных отчислений и других экономических показателей с помощью понятия функции. Решаются задачи:
Задача 1. Перевозка груза из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 230 км , обходится в 57 рублей, а в пункт С, находящийся на расстоянии 680 км – 118 рублей. Вычислить стоимость перевозки в пункты Д, К, М, расстояние до которых от пункта А 120 км , 750 км , 900 км .
Задача 2. Себестоимость перевозки груза двумя видами транспорта выражается функциями: С = 0,22х + 5,25 и С = 0,18х + 8,05, 10 где х – расстояние в км, С – транспортные расходы.
Определить, какой вид транспорта выгоднее для перевозок и, начиная с какого расстояния.
Задача 3. Срок службы фуговального станка составляет 8 лет, а его стоимость равна 8560 руб. Изобразите графически стоимость станка с учетом амортизации за 2, 5, 7 лет.
Задача 4. Стоимость нового станка А руб., а стоимость капитального ремонта – r руб. Установлено, что станок без ремонта может работать n месяцев, а с ремонтом m месяцев. При каких соотношениях A, r, m, n расходы на ремонт оправдают себя, если производительность труда до и после ремонта одинакова?
1. А = 18500 руб., r = 8000 руб., n = 5 м , m = 8 м .
2. А = 12000 руб., r = 5800 руб., n = 6 м , m = 7 м .
3. А = 28000 руб., r = 10000 руб., n = 8 м , m = 10 м .
Занятия 10–11. Вычисление процентов в экономике. Накопление.
В начале занятия преподаватель должен ввести понятие процента в экономике как денежной суммы, выплачиваемой вкладчику за пользование денежными средствами, т. к. средства, пущенные в оборот, способствуют получению прибыли. Определяется понятие процентной ставки или нормы как отношение процента к величине денежных средств. Выводятся формулы накопления денежных средств:
Доказывается формула
В ходе занятия следует обратить внимание учащихся на финансово-экономические связи населения страны с государством через сберегательные кассы. Указывается выгода, получаемая вкладчиком в виде накопления средств для приобретения ценной вещи и т. п., и выгода для государства, заключающаяся в том, что деньги, поступающие в сферу обращения, идут на государственные нужды, на строительство промышленных предприятий, на социальные расходы и т. п. Решаются задачи следующего типа:
Задача 1. Определить, сколько рублей было отдано в пользование под простые 2% годовых, если через 5 лет накопилась сумма 1200 рублей.
Задача 2. Рабочий машиностроительного завода зарабатывает в месяц 8600 руб., 20% от заработной платы через бухгалтерию завода ежемесячно (с 1 января) в течение 5 лет откладывает в сберегательную кассу. Вычислите накопление денежных средств у рабочего за данный период (при норме р = 13%).
Занятие 12. Погашение кредитов.
Учащимся сообщается, что любое учреждение устанавливает сроки выплаты предоставленного долгосрочного кредита: разрабатывает план его погашения. В нашей стране кредиты выдаются Сбербанком и другими частными банками при определённых процентных взысканиях за пользование денежными средствами на условиях четкого соблюдения обеими сторонами договорной дисциплины. Приводятся примеры процентных взысканий для конкретных случаев.
Доказывается формула погашения кредита:
Решаются задачи типа:
Задача 1. Вычислите, чему равен ежегодный взнос денежных средств предприятием для погашения кредита, предоставленного Госбанком, в сумме 4000 руб., при процентной норме р =12% , если выплата производится в срок и равный 4 годам. Какой ущерб в денежной форме будет нанесен предприятию, если выплата будет произведена несвоевременно?
Занятие 13. Вычисление амортизационных отчислений.
Проводится знакомство учащихся с линейным и дегрессивным методами вычисления амортизационных отчислений. Вводится понятие амортизационного фонда. Учащимся сообщается о смешанном методе вычисления амортизационных отчислений. Разбираются примеры решения задач.
Задача 1. Стоимость оборудования, купленного в литейный цех, равна 84000 рублей, и оно должно прослужить 4 года. Стоимость его по окончанию службы составляет 12000 руб. Вычислить стоимость оборудования и его амортизационные отчисления в конце каждого года, сначала дегрессивным, а затем линейным методами.
Тема 6. Использование понятия производной в экономических расчетах.
Занятия 14–15. Определение скорости роста (снижения) производительности труда, себестоимости продукции, расхода сырья, материалов и т. п. с помощью понятия производной.
В начале занятия дается экономическая интерпретация понятия производной, с помощью которой описываются скорость роста (снижения) производительности труда, скорость сгорания топлива, изменение себестоимости выпускаемой продукции и т. п.
Рассматривается алгоритм нахождения производной в математике и дается его поэтапное объяснение с использованием экономических понятий. Приводятся примеры решения задачи на применение понятия производной произведения двух функций, производной сложной функции, дифференциала функции и т. п. к решению экономических задач. В ходе занятия преподаватель должен обращать внимание на привитие учащимся навыков экономического мышления, развивать у них как у будущих рабочих умения и навыки проведения простейшего экономического анализа производственных процессов с целью своевременного выполнения плановых заданий, определения скорости роста производительности труда при выполнении государственного плана. Решаются следующие задачи:
Задача 1. Производительность труда бригады рабочих в течение смены описывается функцией
где t – рабочее время в часах. Вычислить скорость роста производительности труда бригады при: t = 2; t = 6.
Задача 2. На промышленном предприятии работают 100 тысяч рабочих, каждый с годовой производительностью труда 50 ед. продукции. Скорость роста количества рабочих в год равен 2 тыс., а производительности труда – 20 ед. в год. Определите годовой объем выпуска продукции при данных производственных условиях.
Задача 3. Расходы на топливо для теплохода делятся на 2 части. Первая из них не зависит от скорости и равна 200 руб. в час, а вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 15 км/ч эта часть расходов равна 50 рублям в час. Найти наиболее экономичную скорость теплохода. Вычислить дополнительную прибыль, если расстояние до порта назначения 2000 км .
Задача 4. По плану предусмотрено выпустить 150 тыс. ед. продукции. Количество рабочих, занятых производительным трудом, составляет 3 тыс. человек и увеличивается ежегодно на 0,1 тыс. Средний выпуск продукции каждого рабочего составляет 28 ед. в год. При какой скорости роста производительности труда можно выполнить план досрочно?
Занятие 16. Эластичность функции. Динамика спроса и предложения на товар относительно их цены.
Цель занятия – научить учащихся применять понятие производной для определения динамики спроса и предложения, используя определение эластичности функции. Для функции у = f(x) одного аргумента вводится понятие относительного приращения
Аналогично вводится понятие эластичности величины спроса
Разъясняется учащимся смысл понятий эластичности спроса и предложения относительно цены, которые означают, как будет изменяться спрос или предложение на данный товар, если изменится его цена, указывается на цену, как компромисс спроса и предложения.
Решаются задачи по определению Ep (q), Ep (s).
Задача 1. Составить график спроса и предложения на пшеницу и определить цену равновесия спроса и предложения.
Вариант | Цена | Спрос, млн. т | Предложения, млн.т |
А | 6 | 8 | 18 |
В | 5 | 9 | 16 |
С | 4 | 11 | 12 |
Д | 3 | 14 | 7 |
Е | 2 | 20 | 0 |
Задача 2. Определить эластичность и коэффициенты эластичности спроса на автомобиль, обувь и пшеницу, если величина спроса и цена на товар менялись
а) при цене за автомобиль 120 тыс. руб. объем продаж составил 1,2 млн. штук, а при снижении цены до 100 тыс. руб. объем продаж увеличился до 3 млн. штук;
б) при цене за сапоги женские 2000 руб. объем продаж составил 60 тыс. пар, а при снижении цены до 1500 руб. объем продаж увеличился до 100 тыс. пар;
в) при цене за 1 кг пшеницы 4 рубля объем продаж составил 10 млн. т, а при снижении цены до 2 руб. за 1 кг объем продаж увеличился до 15 млн. т.
Задача 3. Между ценой картофеля р и спросом его q на рынке установлена зависимость в виде q = 120–3p;
Определить эластичность спроса относительно цены р = 15.
Задача 4. Предложение некоторого товара описывается функцией
Определить эластичность предложения относительно цены р = 20.
Занятие 17. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функций при решении задач с экономическим содержанием.
Цель занятия – научить учащихся использовать понятия производной для вычисления наибольшего и наименьшего значения функций при решении экономических задач. Определять оптимальные размеры денежных расходов, объема выпускаемой продукции, прибыли промышленного производства.
При проведении данного занятия преподаватель особое внимание должен уделить формированию у учащихся умений применять математические знания производной функции для решения практических задач, давать простейший экономический анализ производственных процессов. Определять условия получения максимальной прибыли за счет экономии средств, рационального использования техники, природных ресурсов и т. п. При решении задач анализируются условия наиболее экономичного расхода горючего, получения минимальной себестоимости продукции и максимальной прибыли при ее реализации. Обращается внимание учащихся на то, что снижение себестоимости продукции, получение прибыли являются основными характеристиками рентабельности любого предприятия.
Решаются задачи типа:
Задача 1. Открытый бассейн с квадратным дном имеет форму прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 6125 куб. м . Вычислите минимальную стоимость облицовки внутренних стен и дна, если стоимость 1 кв. м равна 30 руб.
Задача 2. Из сопротивления материалов известно, что прочность балки прямоугольного поперечного сечения на горизонтальный изгиб пропорциональна произведению ширины на квадрат высоты. Вычислите размеры наиболее прочной балки, т.е. отношение ширины к высоте поперечного сечения, которую надо изготовить из цилиндрического бревна (диаметр балки равен d линейных единиц). Найти экономию балок и средств за счет правильной их укладки, если для достижения проектной прочности при неправильной укладке будет израсходовано 2000 штук. Стоимость 1 балки – 50 руб.
Задача 3. Себестоимость производства штангенциркулей-125 на заводе описывается функцией:
х – объем выпускаемой продукции за месяц в тыс. ед.
Определить скорость изменения себестоимости при выпуске 20 тыс. ед. и 40 тыс. ед. продукции. При каком объеме выпуска продукции заводом себестоимость штангенциркулей–125 будет минимальной?
Занятие 18. Семинарское занятие.
Семинарское занятие проводится по итогам года. В период подготовки к семинару преподаватель должен сформулировать ученикам вопросы, которые необходимо наиболее широко осветить при изучении той или иной темы. Дается список литературы и вопросы каждому учащемуся. Можно предложить, например, следующие темы докладов:
1. Производительность труда и пути ее повышения.
2. Себестоимость продукции и пути ее снижения.
В первом докладе следует отметить, что рост производительности труда повышает эффективность общественного производства, является основой увеличения национального дохода, повышения благосостояния народа. Обращается внимание учеников на то, что повышения производительности труда в основном следует добиваться за счет технического перевооружения производства, использования передовых методов и приемов труда на основе достижений научно-технического прогресса.
Во втором докладе подчеркивается, что себестоимость продукции является одним из важнейших и основных показателей эффективности работы предприятий, организаций, строительных и сельскохозяйственных фирм. Систематическое снижение себестоимости продукции дает дополнительную прибыль для дальнейшего развития производства, повышения благосостояния трудящихся, указывает на его рентабельность. Проводится дополнительный анализ ранее решенных математических задач с экономическим содержанием.
Преподаватель во время проведения семинара должен давать введение в темы выступлений, делать краткие выводы по докладам учащихся и обсуждению, подвести итог всему семинарскому занятию. При подведении итога важно выделить взаимосвязь основных математических и экономических понятий, которые рассматривались на занятиях.
Комментариев нет:
Отправить комментарий