среда, 26 октября 2011 г.

Задачи

ЗАДАЧИ
1. Из квадратных кусков листового железа со стороной а изготовляют коробок без крышек, вырезая по углам четыре квадратика так, чтобы из оставшейся части после сгибания изготовить коробки наибольшего объема. Каковы должны
быть размеры сторон вырезаемых квадратиков? (Рис. 12)
2. Внутреннюю поверхность резервуара емкостью 4 м3 с квадратным основанием, открытого сверху, нужно покрыть оловом. Каков должен быть размер резервуара, чтобы израсходовать минимальное количество олова? Толщиной стенок пренебречь.
3. Под экспериментальные посадки ценных культур решили огородить участок прямоугольной формы длиной 144 м и шириной 24 м, а затем разделить его пополам перпендикулярно длине. Но в целях экономии средств на постройку забора решили найти наиболее выгодный размер участка. Найти длину и ширину нового участка такой же площади и рассчитать экономию средств, если 1 погонный метр забора стоит 85 руб.
4. Стоимость топлива, необходимого для движения океанского танкера, пропорциональна кубу его скорости и составляет 400 руб. в час при скорости 10 узлов. Все другие виды расходов составляют 1640 руб. в час. Найти экономию денежных средств при движении танкера с наиболее экономичной скоростью, если до порта назначения 1000 морских миль
( 1 узел равен 1852 м/ч).
5. Под посевы овощных культур выделили земельный участок прямоугольной формы площадью 3,24 га и вдоль всей границы окопали рвом. Найти размер участка, чтобы стоимость рва была наименьшей. Вычислить стоимость рва, если погонный метр его обходится в 50 руб.
6. Земельный участок прямоугольной формы, расположенный вдоль прямого берега реки, нужно огородить с трех сторон изгородью. Вычислить минимальную стоимость изгороди, если погонный метр ее обходится в 10 руб., а площадь земельного участка равна 4,5 га.
7. Стоимость топлива, необходимого для движения океанского пассажирского судна, пропорциональна кубу его скорости и составляет 800 руб. в час при скорости 10 узлов. Все другие виды расходов составляют 2000 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость движения танкера и вычислить экономию денежных средств за рейс в 4000 морских миль. Экономичную скорость вычислить с точностью до 0,1 узла.
8. Прямоугольный участок земли в 90000 м2 нужно окопать вдоль всей границы рвом. Каков должен быть размер участка, чтобы на выкапывание рва израсходовать минимум средств?
9. Требуется построить канал, имеющий в сечении форму равнобедренной трапеции, основание и боковые стороны которого имеют по 8 м. Какова должна быть ширина канала, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?
10. Какой нужно взять размер цилиндрического сосуда емкостью p м3, открытого сверху, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество материала?
11*. Расход угля в час катером составляет: z = 0,3 + 0,001v3, где v – скорость катера. Найти наиболее экономичную скорость катера.
12*.Требуется изготовить открытый цилиндрический резервуар заданного объема V. Стоимость материала, из которого делается его дно, в n раз больше стоимости материала, из которого делается боковая стенка. При каких соотношениях высоты резервуара и радиуса его основания стоимость резервуара будет наименьшей?
13. Функция полных издержек производства имеет вид K = x3 – 6x2 + 15х, 20 х – объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определить, при каком объеме производства продукции средние издержки имеют наименьшее значение.
14. Резервуар для перевозки жидкостей имеет форму цилиндра объемом V. Каков должен быть размер цилиндра, чтобы стоимость материала для его изготовления была минимальной?
15. Из отходов основного вида производства, представляющих листовое железо прямоугольной формы со сторонами 80 и 50 см, делают открытые сверху ящики наибольшего объема, вырезая по углам равные квадратики и затем, загибая жесть, чтобы образовать боковые стенки. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратиков?
16. Известно, что расход топлива пропорционален кубу скорости судна и составляет 880 руб. в час при скорости 10 узлов. Содержание экипажа и амортизационные отчисления составляют 4400 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость равномерного движения судна и вычислить экономию денежных средств, если известно, что расстояние до порта назначения 1500 морских миль.
17. Требуется покрасить цинковыми белилами наружную поверхность резервуара цилиндрической формы объемом 785 м3. Пpи каком размере резервуара расходуется минимальное количество краски? Вычислить стоимость покраски резервуара, если стоимость краски и покраски 1 м2 составляет 24 руб.
18. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м2, а длина забора была наименьшей?
19. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты, и из оставшейся части склеивается открытая прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки был наибольшим?
20. Сечение шлюзового канала имеет вид прямоугольника, заканчивающегося полукругом. При каком радиусе полукруга площадь поперечного сечения канала будет максимальной, если периметр сечения равен 9 м ?
21. Из круга вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить конус с наибольшим объемом.
22. Завод А расположен на расстоянии а км от железной дороги, идущей в город В, и на расстоянии b км от города В. Под каким углом к железной дороге следует провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А в В была наиболее дешевой, если стоимость перевозок по шоссе в k раз дороже, чем по железной дороге?
23. Керосиновая цистерна, имеющая форму цилиндра, завершенного конусом, должна быть построена на круглом фундаменте, и иметь заданный объем. Определить наименьшее количество материала для постройки цистерны, если угол при вершине осевого сечения конуса будет равен 2 arccos (2/3) » 96°.
24. Водный канал должен иметь заданную глубину и заданную площадь поперечного сечения. Если поперечное сечение есть равнобедренная трапеция, то каким должен быть угол наклона ее боковых сторон, чтобы при движении воды по каналу потери на сопротивление трения были наименьшими, т. е. чтобы сумма нижнего основания и боковых сторон трапеции была наименьшей?
25. Из прямоугольного куска жести шириной 42 см и длинной 108 см изготовляются ящики, для чего в углах жести вырезают квадраты, затем закрывают выступающие края и паяют кромки. Определить, какой величины следует вырезать квадраты, чтобы вместимость ящика была наибольшей.
26. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V = 95 м3. Каковы должны быть линейные размеры ямы, чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло минимальное количество материала?
27. Открытый бассейн с квадратным дном имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его объем равен 6125 м3. Вычислить стоимость облицовки его стен и дна, если стоимость 1 м2 равна 1,2 руб.
28. По прямой АВ проходит железнодорожный путь. На расстоянии ℓ от пути находится пункт С, из которого следует перевезти груз в пункт А, чтобы транспортные расходы были наименьшими. Известно, что издержки по перевозке 1 т груза автотранспортом, в 1,5 раза выше, чем издержки по железной дороге. Найти расстояние от пункта А до пункта С.
29. Зависимость урожая от количества внесенного удобрения в тоннах выражается функцией Z = 30 + 0,3х + 2 , 0 . Часть издержек на каждый центнер зерна, не зависящая от урожайности, составляет 2500 руб., а другая часть, пропорциональная урожаю – 105руб. Найти зависимость себестоимости урожая от количества внесенного в почву удобрения.
30. На заводе 80 тыс. рабочих. Каждый работает с годовой производительностью труда 20 единиц продукции. Скорость роста числа рабочих происходит до 4 тыс. в год, а производительности труда – 10 единиц в год. Определить объем выпуска продукции при такой скорости роста числа рабочих и производительности труда.
31. По плану предусмотрено выпустить 800 тыс. единиц продукции. Количество рабочих, занятых производительным трудом, равно 10 тыс. человек, и увеличивается ежегодно на 0,1 тыс. Средний выпуск продукции каждого рабочего составит 62 ед. в год. При какой скорости роста производительности труда можно выполнить план досрочно?
32. Функция спроса . Определить эластичность спроса относительно цены, где q – спрос, p – цена.
33. Определить цену, при которой спрос и предложения уравновешивают друг друга, а также относительную производную спроса и предложения, если
, 5
34. Цена товара связана со спросом функцией
, 5
Определить выручку от продажи товара, а также предельную выручку при цене: а) p = 7; б) p = 13.
35. Сменная производительность труда бригады рабочих описывается функцией , 1 , где t – время в часах. Определить объем выпуска продукции в течение года (за 240 рабочих дней), если смена длится 7 ч. Вычислить прибыль, если заводская оптовая цена единицы продукции равна 6000 руб., ее себестоимость 4000 руб., а количество бригад –10.
36. Потребление электроэнергии (в кВт) городскими предприятиями и населением города приближенно описывается функцией: , 0 где t – время в часах. Вычислить стоимость электроэнергии, потребляемой городом в течение суток, если стоимость 1кВт/ч равна 2 руб.
37. Поступление товара на склад описывается функцией , а реализация этих товаров торгующей организацией описывается функцией , 0 где t – количество дней. Определить запас товара в условных единицах по истечении 60 рабочих дней, если исходного товара на складе не было.
38. Завод выпускает 40000 единиц в год определенного вида продукции. А каждый последующий год выпуск продукции непрерывно увеличивается на 1000 единиц. Определить сумму амортизационных отчислений за 10 лет при норме амортизации, равной 1,2% от себестоимости выпускаемой продукции, если себестоимость одной единицы продукции 120 руб.
39. Улов рыбы на рыболовном судне в течение месяца приблизительно выражается функцией , где x – количество улова в тоннах за 1 день. Определить количество улова за 26 дней.
40. На складе имеется 200 единиц некоторого товара. Поступление товара выражается функцией у = 45- , 0 где x-количество товара. Определить запас товара по истечении 2-х месяцев.
41. Потребность электроэнергии 3-х предприятий в течение суток приблизительно выражается функцией , 0 где время в часах. Вычислить стоимость электроэнергии в течение 15 суток, если стоимость 1 кВт/ч равна 2 руб..
42. Производительность труда бригады в течение смены приблизительно выражается функцией 0 x- количество производимой продукции за 1 час. Определить среднюю производительность труда бригады.
43. Опытные данные значений х и у представлены в виде таблицы:

х 1 2 3 4 5 6
у 13 9 5 1 –7 –9

Составить математическую модель, связывающую наилучшим образом переменные х и у.
44. Функция задана таблицей. Составить экономико-математическую модель зависимости функции от аргумента с использованием компьютерной технологии.

x – часы работы экскаватора 1 2 3 4 5 6 7 8
y – объем (м3) 84 89 96 105 98 86 74 68

х – рабочее время (ч) 1 2 3 4 5 6 7 8
у – объем (шт.) 33 42 36 32 37 41 36 31

х – время (г.) 1 2 3 4 5 6 7 8
У– продукты (т) 9115 16650 35970 49510 74700 90165 120820 131825

х–скорость движения (км/ч) 40 50 60 70 80 90 100 110 120
у – расход горючего на 100 км пути (л) 16 17 16,5 14,5 15 15,5 16 19 19,5

х – рабочее время (ч) 1 2 3 4 5 6 7 8
у – выпуск продукции (шт.) 125 130 141 150 145 130 125 118

х – скорость движения (км/ч) 40 50 60 70 80 90 100 110 120
у – расход горючего на 100 км пути (л) 16 17 16,5 14,5 15 15,5 16 19 19,5

х – время (г.) 1 2 3 4 5 6 7
у – рост населения (чел.) 2062818 2164514 2186994 2200450 2228696 2254614 2273768

х – время (мес.) 1 2 3 4 5
y – медосбор пчелиной семьи
(кг) 10 12 16 13 11

Комментариев нет:

Отправить комментарий