З

Методический семинар
Задачи с экономическим
содержанием
на уроках математики
Ш.А. Музенитов,
Место работы: Ставропольский институт непре-рывного медицинского и фармацевтического образо-вания
E-mail: muzenitov-shota@yandex.ru
Для того чтобы повысить интерес учащихся к ма-тематике и показать ее практическое применение, ав-тор статьи предлагает рассматривать на уроках задачи с экономико-производственным содержанием и раз-бирает примеры таких задач.

Ключевые слова: себестоимость продукции, рен-табельность, производительность труда, линейная функция, уравнение, система уравнений.

Сначала рассмотрим несколько задач, в ко-торых используется линейная функция. В эко-номике эта функция может выражать зависи-мость между ценой товара и спросом, нормой прибыли и прибавочной стоимостью, произ-водством продукции и расходом материала и т.д. При этом при решении разных задач ис-пользуются различные уравнения прямой.
Функция y = kx + b может выражать себе-стоимость выпускаемой продукции любого вида. В общую себестоимость входят расходы, связанные с выпуском продукции (сумма де-нег, затраченная на сырье, и сумма, выплачен-ная рабочим), и прочие расходы, которые не зависят от объема выпуска продукции (зара-ботная плата служащих, плата за отопление здания, освещение и т.д.). Назовем их условно расходами первой и второй группы. Если рас-ходы первой группы обозначить буквой k, a расходы второй группы – буквой b, то себе-стоимость С продукции x выражается фор-мулой С = kx + b.
При x < 0 задача теряет смысл. При x = 0 производство прекращается. При x > 0 посто-янно увеличиваются расходы первой группы, приводящие к одновременному с ними увели-чению расходов второй группы за счет расши-рения предприятия, построения новых произ-водственных объектов.
Уравнение прямой в отрезках
где a ≠ 0 , b ≠ 0,
(a; 0), (0; b)  точки пересечения прямой с осями координат, может выражать стоимость основных средств производства с учетом их износа. Если считать, что любая машина пере-носит свою стоимость на изготовляемую с ее помощью продукцию равномерно по мере из-носа, то ее стоимость будет уменьшаться ли-нейно. Чтобы построить соответствующий график, на оси у откладываем отрезок, отве-чающий исходной стоимости машины, а на оси x – отрезок, отвечающий сроку службы. Например, на рис. 1 показан график для a = 8 лет и b = 52 тыс. руб.

Рис. 1
В экономических расчетах используют также уравнение прямой, проходящей через две данные точки с координатами (x1; y1) и (x2; y2), где х1 ≠ х2 , у1 ≠ у2:

Рассмотрим примеры.
Задача 1. Перевозка 1 т лесоматериала по железной дороге от Ставрополя до станции Григорополисская, расстояние между которы-ми 150 км, стоит 44 руб., а до города Прохлад-ный, удаленного от Ставрополя на 505 км, – 105 руб. Пользуясь этими данными, определи-те стоимость перевозки 1 т лесоматериала от Ставрополя до Кисловодск и до Пятигорска, удаленных от него на 472 км и 434 км соот-ветственно.
Решение. Стоимость перевозки 1 т лесо-материала от Ставрополя до города Прохлад-ный больше, чем до станции Григорополис-ская на (105  44) руб., а преодолеваемое рас-стояние больше на (505 – 150) км. Пусть пе-ревозка того же груза на x км стоит y руб. Пе-ревозка из Ставрополя на расстояние, которое на (x – 150) км большее, чем до станции Гри-горополисская, обойдется дороже на (y – 44) руб. Положив для простоты, что разность стоимостей перевозок пропорциональная раз-ности расстояний между пунктами, получим пропорцию
.
Выразим из нее y:
.
Вычислив (с точностью до трех значащих цифр) коэффициент при x и свободный член, получим уравнение
у = 0,172х + 18,2.
Определим стоимость перевозки 1 т лесома-териала от Ставрополя до Кисловодска и до Пя-тигорска:
у = 0,172  472 + 18,2 = 99,38 руб.,
у = 0,172  434 + 18,2 = 92,85 руб.
Задача 2. Себестоимость производства неко-торой продукции бригадой из пяти человек на Ставропольском инструментальном заводе со-ставляет 680 руб. за 1400 ед. и 1900 руб. за 4500 ед. Сравните себестоимость единицы этой продукции при выпуске 2700 ед. и 5400 ед.
Решение. Будем рассуждать так же, как и при решении задачи 1. Сравним выпуск про-дукции во втором и первом случаях. Себе-стоимость производства продукции больше на (1900 – 680) руб., а количество продукции  на (4500 – 1400) ед.
Если завод выпускает x ед. продукции, и себестоимость ее производства C руб., то при сравнении с выпуском в первом случае объем продукции будет больше на (х – 1400) ед., а себестоимость  на (C – 680) руб. Разница се-бестоимостей пропорциональна разнице объемов выпущенной продукции, то есть
,
откуда
С = 0,394х + 129.
Себестоимость производства продукции в количестве 2700 ед. 
С = 0,394  2700 + 129 = 1192,8 руб.,
а в количестве 5400 ед. 
С = 0,394  5400 + 129 = 2256,6 руб.
Себестоимость С1 единицы продукции вычисляется по формуле

В первом случае С1 = 0,44 руб., во втором  С1 = 0,42 руб. Во втором случае производить продукцию выгоднее, а увеличение выпуска в пределах возможности завода приведет к сни-жению ее себестоимости.
Задача 3. Себестоимость перевозки груза двумя видами транспорта выражается функция-ми С = 0,25х – 1,6 (по шоссе) и С = 0,2х + 3,8 (по железной дороге), где 10 ≤ х ≤ 1000 – рас-стояние в километрах, а С – транспортные рас-ходы. Определите, какой вид транспорта выгод-нее для перевозки одного и того же груза, и на-чиная с какого расстояния.
Решение. При x = 100 для первого вида транспорта стоимость перевозки составляет 23,4 руб., а для второго – 23,8 руб. При x = 300 стоимость первого вида транспорта со-ставляет 73,4 руб., а второго – 63,8 руб. Сле-довательно, на малых расстояниях выгоднее перевозить груз по шоссе, а на больших – по железной дороге.
Выясним, начиная с какого расстояния вы-годнее пользоваться вторым видом транспор-та. Очевидно, что на определенном расстоя-нии стоимость перевозки обоими видами транспорта обходится одинаково. Это рас-стояние найдем, решив систему данных уравнений:

откуда
0,25х – 1,6 = 0,2х + 3,8, х = 108.
Значит, начиная с 108 км, второй вид транспорта экономичнее (рентабельнее).
Объясняем учащимся, что эта и аналогич-ные ей задачи сводятся к нахождению абсцис-сы точки пересечения двух прямых. Разберем такой пример.
Задача 4. Расходы при перевозке груза двумя видами транспорта вычисляются по формулам
y1 = 100 + 40х и y2 = 200 + 20х,
где х – расстояние, на которое осуществляет-ся перевозка (в сотнях километров), а y1, y2  транспортные расходы по перевозке груза первым и вторым видами транспорта соответ-ственно (в рублях). Определите, на какие рас-стояния и каким видом транспорта перевозки груза будут более экономичными.
Решение. На одной координатной плос-кости построим графики транспортных расхо-дов, они пересекаются в точке A(5; 300) (рис. 2).
Рис. 2
По этим графикам достаточно просто оп-ределяются (по значению у) транспортные расходы по перевозке груза на любые расстоя-ния обоими видами транспорта, а также то, на какие расстояния и каким видом транспорта перевозки более выгодны. Так, если груз тре-буется перевезти на расстояние менее 500 км, следует выбрать первый вид транспорта, а на большие расстояния груз экономичнее перево-зить вторым видом транспорта.
Рассмотрим также несколько задач, кото-рые решаются с помощью уравнений или не-равенств.
Задача 5. На одной сельскохозяйственной фирме годовой удой молока за 2002 г. соста-вил 3500 тыс. л, а на другой – на 750 тыс. л меньше, хотя коров там на 100 голов больше, чем на первой фирме. Годовой удой молока от одной коровы на первой фирме на 1 тыс. л больше, чем на второй. Найдите:
а) поголовье коров на каждой фирме;
б) среднегодовой удой молока от одной коровы на каждой фирме;
в) себестоимость 1 л молока на каждой фирме, если стоимость содержания одной коровы с учетом заработка работников и ос-тальных расходов составляет 14 000 руб. в год (расходы по реализации молока не учи-тывать).
Решение. Пусть x – количество коров на первой фирме, тогда (x + 100) – количество ко-ров на второй фирме; тыс. л – годовой удой молока от одной коровы на первой фирме, а тыс. л – годовой удой молока от одной коровы на второй фирме. Согласно ус-ловию задачи

После простых преобразований получим квадратное уравнение
x2  650x  350 000 = 0,
его корни x = 1000, x = 350. Второй ко-рень не удовлетворяет условию задачи, так как поголовье коров не может быть числом отрицательным.
Ответим на поставленные вопросы.
а) На первой фирме 1000 коров, а на второй – 1100.
б) Среднегодовой удой молока от одной коровы на первой фирме 3,5 тыс. л, а на вто-рой – 2,5 тыс. л.
в) Себестоимость 1 л молока на первой фирме 4 руб., а на второй  5,6 руб.
Задача 6. В 2009 г. один завод выпустил 12 000 машин, а другой завод, где некоторые виды работ были автоматизированы, выпус-тил 13 800 машин, хотя рабочих на нем было на 350 человек меньше, чем на первом заво-де. Известно, что средняя годовая произво-дительность труда одного рабочего на вто-ром заводе на 4 машины больше, чем на пер-вом. Для каждого завода определите:
а) число рабочих;
б) среднюю годовую производительность труда одного рабочего;
в) среднемесячную зарплату рабочего;
г) себестоимость одной машины, если го-довой фонд зарплаты рабочих на первом за-воде составляет 81 млн. руб., а прочие рас-ходы – 33 млн. руб., на втором заводе  со-ответственно 72 млн. руб. и 32 млн. руб., а расходы на реконструкцию каждого завода составляют 14 млн. руб.
Ответ: а) на первом заводе 1500 рабочих, а на втором 1150; б) средняя годовая произво-дительность труда одного рабочего на первом заводе 8 машин, а на втором 12; в) среднеме-сячная зарплата рабочего на первом заводе 4500 руб., а на втором – 5217,4 руб.; г) себе-стоимость машины на первом заводе 10 667 руб., а на втором – 8550,7 руб.
Задача 7. Завод выпускает станки типа А и В, которые вместе весят 2700 кг. Конструкто-ры после модернизации снизили массу станка типа А на 7%, а станка типа В  на 5%, и вместе они стали весить 2535 кг. Найдите:
а) массу станка типа А и типа В старой кон-струкции;
б) снижение материалоемкости станка типа А и типа В;
в) годовую экономию металла, если вместо старых станков завод будет выпускать по 5000 станков типа А и типа В новой конструкции.
Решение. Пусть масса станка типа А старой конструкции x кг, тогда масса станка типа В (2700 – x) кг. Снижение материалоемкости станков типа А и В равно соответственно
кг и кг.
Составим уравнение

Решив его, найдем x = 1500.
Ответим на поставленные вопросы.
а) Старый станок типа А имеет массу 1500 кг, а станок типа В  1200 кг.
б) Массу станка типа А удалось снизить на 105 кг, а массу станка типа В – на 60 кг.
в) Годовая экономия материала при вы-пуске станков типа А и типа В новой конст-рукции составит
(105 + 60)  5000 = 825 000 кг = 825 т.
Задача 8. Стоимость трактора равна А, а стоимость его капитального ремонта – r. Ус-тановлено, что трактор может работать без ремонта n месяцев, а с ремонтом  m меся-цев. При каких соотношениях между A, r, n и m затраты на ремонт являются рентабель-ными? Оцените r. (При этом нужно учесть, что мощность отремонтированного трактора равна мощности нового трактора.)
Решение. – средняя стоимость ме-сячной эксплуатации нового трактора; (A + r)  суммарная стоимость трактора и ремонта; – средняя стоимость месячной эксплуа-тации трактора после ремонта.
Капитальный ремонт трактора будет рен-табельным (то есть окупит себя) только в том случае, когда средняя стоимость месячной эксплуатации трактора после ремонта будет не больше, чем средняя стоимость месячной эксплуатации до ремонта, то есть
, откуда
Задача 9. Используя результат, получен-ный при решении задачи 8, выясните, в каких из следующих случаев надо ремонтировать тракторы (ремонт будет рентабельным), а в каких нет:
а) А = 1750 руб., r = 500 руб., n = 8 меся-цев, m = 12 месяцев;
б) А = 1200 руб., r = 460 руб., n = 6 меся-цев, m = 7 месяцев;
в) А = 1500 руб., r = 600 руб., n = 8 меся-цев, m = 13 месяцев;
г) А = 2700 руб., r = 1200 руб., n = 9 меся-цев, m = 15 месяцев.
Ответ: капитальный ремонт тракторов будет рентабельным в случаях а), в) и г).